Systèmes de réécriture et le problème du mot dans un monoïde
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Date
2017
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Publisher
Université de M'sila
Abstract
Notre recherche dans cette thèse se situe dans le cadre de semi-systèmes de réécriture dit
aussi semi-système de Thue et le problème du mot dans un monoïde. Un semi-système de
réécriture est un couple ( ;R) où est un alphabet et R est un ensemble ni de couples de
mots sur , i.e, R où est le monoïde libre engendré par muni de l opération
la concaténation des mots.
L étude des propriétés des semi-systèmes de réécriture forme un domaine très important
depuis de nombreuses années. Parmi les propriétés les plus étudiées et les plus importantes
des semi-systèmes de réécriture se trouvent la terminaison qui assure l existence d un résultat
à un calcul et la con uence qui nous permet de garantir l unicité de ce résultat.
Dans ce travail on donne des critères pour assurer la propriété de terminaison dans les deux
cas suivants:
Dans le premier cas, on utilise un morphisme non contractant entre le semi-système ( ;R)
en question et un autre semi-système possédant déjà cette propriété. Dans le second cas,
on utilise une fonction poids entre le semi-système ( ;R) et un ensemble muni d un ordre
bien fondé.
Soit ( ;R) un semi-système de réécriture. La congruence ()R
engendrée par R est dé nie
par:
w()R
w0, s il existe x; y de et (r; s) 2 (R [ R1) tels que w = xry et w0 = xsy,
w ()R
w0 , s il existe une suite nie de mots u0; u1; :::; un de avec,
u0 = w; ui()R
ui+1; 80 i n 1 et un = w0.
Une présentation (par générateurs et relations) d un monoïde M est la donnée d un
alphabet et d une relation binaire R sur tels que M soit isomorphe au quotient de
par la congruence notée ()R
engendré par R, i.e, M = = ()R
.
Etants données deux semi-systèmes de réecriture ( 1;R1) et ( 2;R2). Nous avons déter-
miné quelques conditions sur les relations R1 et R2 qui permettent d assurer l existence d un
morphisme entre les monoïdes 1
= () R1
et 2
= () R2
pour assurer le passage entre les deux
i
monoïdes quotients. D autre part, on donne une relation spéci que R sur qui fait du
monoïde quotient = ()R
un groupe.
Le problème du mot dans un monoïde libre qu on peut formuler comme suit : Etant
donnés le semi-système de réécriture ( ;R) et les deux mots w;w0 de , déterminer si
on peut dériver w0 à partir de w en utilisant la congruence engendré par R, c est-à-dire
w ()R
w0. Ce problème est connu qu il est en général indécidable.
En n, on s intéresse au protocole ATS-monoïde , l idée de ce protocole est de transformer
un semi-système de Thue ( ;R) pour lequel le problème du mot est indécidable en un semi-
système de Thue ( ;R ) où pour lequel le problème du mot est décidable en
temps linéaire. Plus précisément, on donne des attaques contre ATS-monoïde dans des cas
spéci ques et quelques exemples sur ces cas.
Description
Keywords
Monoïde libre, semi-systèmes de réécriture de mots (semi-système de Thue), morphisme de monoïdes, la fermeture d une relation binaire, ordre bien fondé, prob- lème du mot dans un monoïde, cryptographie à clé publique, les bases de Grôbner. ii