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    ETUDE NON-CLASSIQUE DE QUELQUES IN EGALIT ES FAISANT INTERVENIR LA FONCTION D'EULER '
    (Université de M'sila, 2015) Bellaouar, Djamel
    Le cadre de ce travail revient au th eorie IST (Internal Set Theory, voir [35]). En vue de [5], rapplons la d e nition suivante: On dit que les r eels i du syst eme ( 1; 2; : : : ; k) avec k 1 sont simultan ement approximables au sens in nit esimal, si pour tout nombre r eel in niment petit positif ", il existe des rationnels pi q i=1;2;:::;k tels que 8< : i = pi q + "$i "q = 0 ; i = 1; 2; : : : k; o u ($i)i=1;2;:::;k sont des nombres limit es. Soit ( 0; 1; : : : ; !) un syst eme de r eels, avec ! illimit e. Dans le premier chapitre, nous allons donner une condition n ecessaire pour que ( i)i=0;1;:::;! soient simultan ement approximable au sens in nit esimale. L'inverse de cette condition est egalement discut e. Soient k un entier positif et Wk l'ensemble des entiers positifs n dont le nombre des facteurs premiers distincts de n est sup erieur ou egal a k. Dans le deuxi eme chapitre, certaines in egalit es qui font intervenir plusieurs fonctions arithm etiques sont etudi ees sur Wk. Dans le troisi eme chapitre, nous allons d eterminer une fonction arithm etique f pour laquelle l'expression fN(n) 􀀀 fN(n + `) a une in nit e de changement de signe sur un sous-ensemble propre in ni de Wk, o u , N et ` sont des param etres. Ce r esultat sera r ealis e en utilisant le th eor eme de Dirichlet concernant les nombres premiers dans un progression arithm etique. Dans le quatri eme chapitre, certains probl emes ouverts se posent pour d'autres recherches.