Abstract:
Le cadre de ce travail revient au th eorie IST (Internal Set Theory, voir [35]). En vue de
[5], rapplons la d e nition suivante: On dit que les r eels i du syst eme ( 1; 2; : : : ; k)
avec k 1 sont simultan ement approximables au sens in nit esimal, si pour tout
nombre r eel in niment petit positif ", il existe des rationnels
pi
q
i=1;2;:::;k
tels que
8<
:
i =
pi
q
+ "$i
"q = 0
; i = 1; 2; : : : k;
o u ($i)i=1;2;:::;k sont des nombres limit es.
Soit ( 0; 1; : : : ; !) un syst eme de r eels, avec ! illimit e. Dans le premier chapitre,
nous allons donner une condition n ecessaire pour que ( i)i=0;1;:::;! soient simultan ement
approximable au sens in nit esimale. L'inverse de cette condition est egalement discut
e.
Soient k un entier positif et Wk l'ensemble des entiers positifs n dont le nombre des
facteurs premiers distincts de n est sup erieur ou egal a k. Dans le deuxi eme chapitre,
certaines in egalit es qui font intervenir plusieurs fonctions arithm etiques sont etudi ees
sur Wk. Dans le troisi eme chapitre, nous allons d eterminer une fonction arithm etique
f pour laquelle l'expression fN(n) fN(n + `) a une in nit e de changement de
signe sur un sous-ensemble propre in ni de Wk, o u , N et ` sont des param etres.
Ce r esultat sera r ealis e en utilisant le th eor eme de Dirichlet concernant les nombres
premiers dans un progression arithm etique.
Dans le quatri eme chapitre, certains probl emes ouverts se posent pour d'autres
recherches.
